The World of Wonders

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die bbc, die british broadcasting corporation, ist ja nicht erst seit gestern bekannt dafür ein paar sehr gute dokus zu machen. an dieser stelle möchte ich zwei davon empfehlen, die sich meines erachtens auf jeden fall für diejenigen lohnen, die sich zum einen für astronomie und zum anderen für mathematik interessieren:

gestern lief – wie ich dank rené (aka nerdcore) erfahren hab – der erste teil der doku wonders of the universe, die durch astrophysiker brian cox präsentiert wird. heute kann man die hd-version des ersten teils bereits auf youtube sehen, und lasst euch gesagt sein: es lohnt sich!

in this episode, brian seeks to understand the nature of time and its role in creating both the universe and ourselves. from an extraordinary calendar built into the landscape of peru to the beaches of costa rica, brian explores the cycles of time which define our experience of life on earth. but even the most epic cycles of life can’t begin to compare to the vast expanse of cosmic time. source: bbc

(youtube direktwonders, via nerdcore)

desweiteren bin ich über die doku “the story of maths, the language of the universe” gestoßen, die von oxford professor marcus du sautoy präsentiert wird.  auch diese doku kann man auf youtube anschauen kann, und zwar in den teilen 1, 2, 3 und 4 – danke dafür, liebes internet!

2001 trifft auf Fraktale…

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…oder anders: Sci-Fi-Autor und Futurist Sir Arthur C. Clarke zu Mandelbrot.

Der französisch-US-amerikanische Mathematiker Benoît B. Mandelbrot ist leider kürzlich im Alter von 86  Jahren verstorben. Der Forscher machte sich vor allem in seinen wegweisenden Arbeiten zur fraktalen Geometrie (er hat den Begriff Fraktal geprägt) und zur Chaosforschung verdient, wobei seine populärste Entdeckung die fraktale Mandelbrot-Menge ist. Sein Fachgebiet und seine Theorien dürften mit Sicherheit für die wenigsten Menschen wirklich verständlich sein, in der Wikipedia findet sich allerdings der folgende Absatz über seine Theorie der Mandelbrot-Menge und deren Rezeption in der Öffentlichkeit, darin heißt es:

Die Mandelbrot-Menge erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad. Sie dürfte das populärste Fraktal und möglicherweise das populärste Objekt der zeitgenössischen Mathematik überhaupt sein.[6] Ein Aspekt neben dem enormen geometrischen Formenreichtum ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können. Ein weiterer Aspekt ist die Nähe zur Chaostheorie, die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte. Die Mandelbrot-Menge hat auch Computerkünstler inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei fanden und finden auch zahlreiche Modifikationen des Algorithmus Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Für ein tieferes Verständnis von Mandelbrots Arbeit kann man allerdings eine Dokumentation heranziehen, die bereits im Jahre 1995 mit Sir Arthur C. Clarke (2001: A Space Odyssey; The Songs of Distant Earth; The Fountains of Paradise; u.v.m.) entstand. “Fractals – The Colors Of Infinity” dreht sich um Mandelbrots 1980er Entdeckung des Mandelbrot Set (M-Set). Die Doku lässt den Zuschauer in die Welt der fraktalen Geometrie eintauchen und führt schließlich auch zum “thumbprint of God.” Arthur C. Clarke spricht diese Doku und wird ergänzt durch David Gilmour (Gitarrist, Sänger und Songwriter für Pink Floyd), der den Soundtrack lieferte. Großartig, viel Spaß also dabei:

Quelle: Google Video

Übrigens kann man die DVD auch online käuflich erwerben.

ein weg mit der mathematik richtig geld zu verdienen

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natürlich gibt es verschiedene wege sich mit der mathematik seinen lebensunterhalt zu verdingen. lehrer dürfte hier wohl ein klassisches beispiel sein, erfolgreicher lottospieler ein anderes. ein schon ausgefalleneres mathematisches berufs- bzw. betätigungsfeld dürfte dann wohl die kryptographie sein, in der es um das funktionale verschlüsseln von informationen geht, maßgeblich um vertraulichkeit, integrität, authentizität und verbindlichkeit eben jener informationen und deren erzeugern und nutzern zu erreichen/gewährleisten/erhalten/sichern.

sicher gibt es viele andere wege mit der mathematik (meist eher indirekt, als direkt) geld zu verdienen, es gibt jedoch einen, der besonders direkt und besonders spektakulär ist. reich werden durch rechnen geht heutztage vor allem durch das lösen der millennium-probleme. diese im jahre 2000 durch das clay mathematic institute (cmi) in cambridge festgesetzte liste von bisher ungelösten mathematischen problemen sind nämlich mit einem preisgeld in höhe von je einer million dollar dotiert – also vielmehr ist eine funktionierende lösung eines der probleme mit eben jener summe dotiert. was also sind die probleme (und warum sind sie so schwer?):

1. der beweis der vermutung von birch und swinnerton-dyer, die aussagen zur zahlentheorie auf elliptischen kurven trifft.

2. der beweis der vermutung von hodge, welche die algebraischen topologie nicht-singulärer komplexer algebraischer varietäten und ihrer geometrie verbindet.

3. analyse von existenz und regularität von lösungen der dreidimensionalen inkompressiblen navier-stokes-gleichungen, welche die strömung in newtonschen flüssigkeiten und gasen beschreiben.

4.die lösung des p-np-problems – einem problem, dass auch in der theoretischen informatik besteht – und versucht die beziehung der beiden komplexitätsklassen p und np zu beschreiben.

5. der beweis der poincaré-vermutung – die lange als das bedeutenste ungelöste problem im mathematischen teilgebiet der topologie galt (die topologie untersucht die eigenschaften geometrischer körper, also topologischer räume, die durch bestimmte verformungen wie dehnen, stauchen, verbiegen, verzerren, verdrillen eines Gegenstands nicht verändert werden).

6. der beweis der riemannschen vermutung, einer annahme über die nullstellen der riemannschen zetafunktion.

7. die erforschung der gleichungen von yang-mills, die starke und schwache Wechselwirkung beschreiben.

bisher gelang tatsächlich nur die lösung eines der sieben probleme – 2002 löste der russische mathematiker grigori jakowlewitsch perelman eben jene poincaré-vermutung. für diese leistung sollte perelman 2006 die fields-medaille verliehen werden und im jahre 2010 sollte ihm der millennium-preis zugesprochen werden. beides lehnte er ab. insofern ist noch genügend arbeit und betätigungsraum für jene, die sich selbst beteiligen wollen – natürlich unter einhaltung der regeln.

wem dieser blogbeitrag absolut überhaupt nichts sagt, dem bleibt (wie auch mir) schlussendlich noch die erkenntnis, dass es zu manchen dingen wohl nie eine logisch nachvollziehbare, numerisch strukturierte lösung geben wird – egal wie hoch das preisgeld auch sein mag.

die formel von nichts geringerem als “glück”?

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während der heutigen quälerei auf dem rückschlagspiel-platz des vertrauens und der dazugehörigen verschnaufpause kam die interessante frage nach einer definition von glück und schönheit auf. während des gedankenjonglierens stellte sich mir dann die frage, ob man glück nicht auch mathematisch fassen und zumindest ansatzweise erklären könnte. von der schönheit weiß man ja zumindest, dass es da mathematische bzw. naturwissenschaftliche erklärungsansätze gibt, daher soll dies hier erst einmal keine rolle spielen. (obwohl  es auch da sehr interessante phänomene gibt, wie beispielsweise die versuche die schönheit über komplexität, hier meist besonders theoretisch über die kolmogorow-komplexität zu erklären. dazu jedoch später vielleicht einmal mehr.)

eine kurze recherche daheim brachte in der tat den einen oder anderen link zutage, wurde jedoch schnell sehr breit und endete in einem leichten wirrwarr. das liegt vor allem daran, dass es zahlreiche und verschiedenste definitionen und herangehensweisen zum thema glück gibt. angefangen in der griechischen philosophie (in der der athenische staatsmann solon beim besuch des lyderkönigs kroisos eben jenem bestätigen soll, dass dieser der glücklichste mensch auf der erde sei), über die glückseligkeit in aristotelesnikomachischer ethik (als eine art der schau des göttlichen), den lustlehren des antisthenes und epikurs, der glücksdefinition bei thomas von aquin (glück als letztziel des menschen, der sich in seinem handeln verwirklicht und sein handeln dabei auf ein ziel ausrichtet, welches zugleich das für ihn positive bzw. gute ist – siehe hierzu die “summa theologia“), bis hin zu neuzeitlicheren glückskonzepten wie sie in immanuel kants pflichtethik, im utilitarismus nach jeremy bentham, oder in der analytischen philospophie von georg henrik von wright zu finden sind.

es gibt allerdings wenige mathematische herangehensweisen an dieses überbordende thema. beispielsweise sind da die empirischen herangehensweisen, also die maßgeblich sozialwissenschaftlich geprägten methodiken der beobachtung und befragung, welche in aller regel zu so etwas wie dem happy planet index oder der world database of happiness führen. eine weitere eher semi-mathematische herangehensweise ist die berechnung eines finanziellen gegenwertes dem wir dem glück als kaufkraft entgegenstellen würden. auch das von francis hutcheson aufgeworfene prinzip des “größten glücks der größten zahl” könnte man als eine quasi-mathematische annahme betrachten, die dann später von jeremy bentham und auch stuart mill in ihrem utilitarismus aufgegriffen und fortentwickelt wurde (nach bentham muss “…jene handlung als ethisch wertvollste beurteilt werden, die das größtmögliche glück für die größtmögliche anzahl menschen erzielt. [er] war der Ansicht, dass man für jeden einzelnen den individuellen lustgewinn errechnen und von dem individuellen gratifikationswert auf den kollektiven gratifikationswert schließen könne.”).

alles in allem gibt es jedoch (wahrscheinlich berechtigterweise) recht wenige versuche das glück in eine formel zu fassen. tatsächlich habe ich aber 3 formeln gefunden, die genau dies (mehr oder weniger abstrakt und auch mehr oder weniger ernst versuchen).

zunächst wäre da die formel einiger britischer wissenschaftler, unter denen auch die psychologin carol rothwell und der life coach (!) peter cohen waren. auf basis einer befragung von ca. 1000 personen (diese mussten aus 80 situationen fünf szenarios auswählen, die sie glücklicher und weniger glücklicher machen) entwickelten sie die folgende formel:

happiness = p + 5e + 3h

dabei steht in dieser formel “p” für die persönlichen charakteristiken und einstellungen (lebensauffassung, anpassungsfähigkeit und belastbarkeit); “e” steht dabei für die existenziellen faktoren (gesundheit, freundschaften und finanzielle stabilität); “h” repräsentiert schließlich die faktoren höherer ordnung (selbstwertgefühl, erwartungen und ambitionen). die auswahl der faktoren dürfte hier doch recht willkürlich getroffen worden sein und so verwundert auch das ergebnis wenig:

sunny weather, being with family and losing weight were more of an influence on women’s happiness, while romance, sex, hobbies and victories by their favourite sports teams were more important to men… the findings show that certain events, such as job promotion, can impact positively on your overall happiness.

diese ergebnisse dürften erst recht wenig vor dem hintergrund verwundern, dass die studie von einem touristikunternehmen in auftrag gegeben wurde. quelle: cnn.com

die zweite, vielleicht schon etwas wissenschaftlichere formel lässt sich in einer studie mit dem namen “money, sex and happiness: an empirical study” aus dem jahre 2003 finden. diese bringt das level des glücks mit verschiedenen faktoren wie geld, heirat und auch der frequenz von sex in verbindung. das level des glücks ist also eine funktion der variablen (einkommen, familienstatus, gesundheit, sexfrequenz…). legt man nun eine lineare beziehung zugrunde, kann man die funktion folgendermaßen schreiben:

happiness = c1(einkommen) + c2(familienstatus) + c3(gesundheit) + cn(xxx) …

wobei c1, c2, c3, etc. die koeffizienten der einzelnen faktoren sind. die maßgebliche idee hinter dieser formel war “to use the relative coefficients of income and life events … to calculate a monetary ‘compensating amount’ for each kind of life event”, so erläutern zumindest die urheber. quelle: the mathematics of happiness by a. mukerjee

die spannendste der 3 gefundenen formeln aber ist die von wilhelm ostwald. als chemie-nobelpreisträger 1909 und selbsternannter physiker versuchter glück durch ein formel zu erklären, die der mathematischen beschreibung des energieerhaltungssatzes sehr ähnlich war. ostwald definierte glück wiefolgt:

glück = e2 – w2 = (e+w) (e-w)

in dieser formel steht das “e” für die mit absicht und erfolg aufgewandte energie steht und das “w” für die mit widerwillen aufgewandte energie. die schon seltsam aussehende formel wurde noch im selben jahr von ludwig boltzmann, einem wiener physiker, der ostwald privat durchaus freundschaftlich gewogen war, heftig angegriffen und schlussendlich auch widerlegt. boltzmann bemängelte vor allem die durch die formel vorausgesetzte proportionalität zwischen der physikalisch aufgewandten energie e+w und der willensstärke, die er eigentlich nur als das auslösende agens sah, dessen intensität im folgenden umsatz jedoch keine proportionalität aufwies. boltzmann brachte das beispiel, dass man mit geringer energie eine verhängnisvolle reaktion in gang setzen kann, ebenso aber auch mit viel energie nur eine unscheinbare reaktion auslösen kann. schließlich kommt er zu der auffassung, dass ostwalds formel nichts anderes sagen würde als

…dass wir uns umso glücklicher fühlen, je mehr (e) unserm willen gemäß und je weniger (w) gegen unsern willen geschieht…,

…die formel sagt ja nur 1. sei energisch und 2. sieh zu, dass alles deinem willen gemäß verläuft…soviel weiß jedermann auch ohne mathematische formel,

…der faktor (e+w), also die behauptung, dass sich energischere menschen im glücke glücklicher, im unglücke unglücklicher fühlen, das dürfte auch gerade keine epoche machende entdeckung sein.

quelle: peter maria schuster “und was geschieht mit dem licht? physiker, dichter und andere reisende – essays.”, 2006, seiten 114-115.

man dürfte also sehen, dass der rückfall in das strikt formale nicht immer möglich, hilfreich, oder ratsam ist. manchmal sieht man die wahre logik nicht durch algebraische formeln nicht, dann ist es ratsam sich aller syllogismen und aller philosophischen worthülsen zu entledigen. und was bleibt im falle des glücks? vielleicht schalten wir das herz mal wieder ein.

linking >>> the world’s greatest poet

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viele naturwissenschaften bedienen sich der mathematik als eines ihrer grundlegenden elemente, oder besser ihrer werkzeuge. nicht wenige wissenschaftler sehen in ihrer arbeit mit, in und um mathematische formeln auch eine kunstschaffende, oder zumindest kunstbezogene tätigkeit. und in der tat kommt man nicht umhin einer mathematischen formel eine gewissen faszination zuzusprechen (wie aus dem folgenden bild ersichtlich, dessen inhalt erst einmal unwichtig ist).

quelle: screenshot

viele mathematiker, physiker, astronomen kommen auch in der tat nicht umhin, ihre disziplin als eine art kunstform zu betrachten. und in der tat kann man einige parallelen feststellen. so spricht man beispielsweise auch in der mathematik von plastizität, von abstraktion.

helicoid

quelle: wikipedia

klein-flasche

quelle: wikipedia

zum eigentlichen link: graham farmelo widmet sich eben dieser verbindung von naturwissenschaft und kunst, in seinem fall der verbindung von physik (speziell der quantenphysik von paul dirac) und poetik, in einem flammenden artikel auf den science-seiten des the guardian online, den ich hochspannend und sehr lesenswert finde.

Physics + Dirac = poetry
Beautiful equations are as concise as haikus and as compelling as verse

[//:link]

wer will hamlet besprechen? wahrscheinlich ein affe!

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in douglas adams’ werk “per anhalter durch die galaxies” gibt es eine stelle in der arthur und ford bei faktor 1:220.000 des unwahrscheinlichkeitsantriebes  von einer unendlichen horde affen überfallen werden. so weit, so gut. aber spätesten wenn diese dann mit ihnen über ein drehbuch zu hamlet diskutieren wollen, steigen die meisten leser wohl aus. auch ich hab mir bis auf ein kleines wundern keine weiteren gedanken dazu gemacht, bis ich vor kurzem auf das infinite-monkey-theoreme gestoßen bin, das sogar einen wissenschaftlichen zusammenhang herstellt.

ein blick in die allwissende müllhalde bestätigt dies. so definiert wikipedia dieses theorem als einen lehrsatz der besagt, dass

ein affe, der unendlich lange zufällig auf einer schreibmaschine herumtippt, fast sicher irgendwann alle bücher in der bibliothèque nationale de france (nationalbibliothek frankreichs) schreiben wird. In englischsprachigen ländern heißt es, dass so irgendwann die werke william shakespeares entstehen werden. [daher hamlet]

das zugrundeliegende mathematische modell der fast-sicheren wahrscheinlichkeit kann man, da affen und hamlet nicht formalisierbar sind, auf zeichenketten übertragen und folgendes festhalten. in einer zufälligen unendlichen zeichenfolge wird jede denkbare endliche zeichenfolge mit einer wahrscheinlichkeit von 1 mindestens einmal vorkommen. man kann sogar annehmen, dass diese endliche zeichenfolge fast sicher unendlich oft auftaucht. wer mehr wissen will, sollte sich einmal mit dem borel-cantelli-lemma beschäftigen.

zurück zu den affen – wie groß muss man sich die wahrscheinlichkeit denn nun vorstellen. hierzu gibt der wikipedia-artikel eine kurze wahrschinlichkeitenrechnung, die ich mal kurz zusammengefasst darstelle:

  • 1/26 wäre die wahrscheinlichkeit, dass ein affe den ersten buchstaben in hamlets ersten satz richtig tippt
  • um den nächsten buchstaben auch noch korrekt zu tippen, beträgt die wahrscheinlichkeit schon 1/676 (weil: 1/26 * 1/26)
  • bei 20 buchstaben würde sie (nach exponentieller verhaltensweise dieser wahrscheinlichkeit) nur noch 1/19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 betragen (entspricht ungefähr der wahscheinlichkeit mit vier lottoscheinen in vier hintereinander folgenden ziehungen jeweils den jackpot zu knacken)
  • hamlet hat nun ca. 130.000 buchstaben, womit wir bei einer wahrscheinlichkeit von 1/26130000 landen

kann man diese wahrscheinlichkeit eigentlich irgendwie erfassbar darstellen? nein. am besten hat es aber gian-carlo rota beschrieben:

if the monkey could type one keystroke every nanosecond, the expected waiting time until the monkey types out hamlet is so long that the estimated age of the universe is insignificant by comparison … this is not a practical method for writing plays.

unfassbar diese mathematikologen… spannend aber, was man alles so bei douglas adams lernen kann.